モデル化

　まず、Fig.1 のようなモデルを考えます。二枚の布団を重ねたとき、それぞれの布団の熱伝達係数を k1、k2 とします。k が大きいほど熱を伝えやすい薄い布団であることを意味します。反対に分厚い布団は k が小さくなります。
　一枚目の布団 A を通過する熱量と、二枚目の布団 B を通過する熱量を、それぞれ QB→、Q→R とします。また、体温を TB、二枚の布団の間の温度を T、室温を TR とします。ただし、TB > TR です。

Fig.1 二枚の布団を重ねて就寝する

布団を重ねる順番によって失う熱量に差はあるか？

　ここで、ニュートンの冷却の法則に拠れば、単位時間・単位面積あたりの熱の移動量は以下のように表すことができます。

　ここで、十分時間が経過した後で、二枚の布団の間の温度 T が一定になったとすれば、布団 A から流入する熱量と、布団 B を経て放出される熱量が等しいことから

　これにより、十分時間が経過した後では、二枚重ねの布団を通じて、QB→ = Q→R の熱量が部屋に放出されることになります。これは同時に人体から失われる熱量に等しく、この値が大きいほど寒く感じるはずです。このとき

結論 1

　上式において、k1 と k2 を入れ替えても値は同じです。すなわち、十分に時間が経過した後では、布団は薄い順番に重ねても、分厚い順番に重ねても、暖かさは一緒ということが言えました。

布団の組み合わせによって失う熱量に差はあるか？

　ここで、熱伝達係数が半端な 2k の毛布 2 枚の組み合わせ(A)と、熱伝達係数が k の掛け布団 1 枚、熱伝達係数が 3k のタオルケット1 枚の組み合わせ(B)ではどちらが暖かいでしょうか？　上式を利用して計算してみます。

結論 2

　TB > TR より、QA > QB。すなわち、半端な毛布 2 枚の組み合わせ(A)よりも、分厚い掛け布団 1 枚と、薄いタオルケット 1 毎の組み合わせ(B)の方が暖かいことがわかります。

まとめ

1. 十分に時間が経過した後では、布団を重ねる順番を変えても、暖かさは変わらない
2. 薄い毛布 2 枚よりも、分厚い布団+薄いタオルケットの方が暖かい

久々に数式をいじったので間違っていたらゴメンナサイ