鏡数と非鏡数

　はじめに「鏡数」について説明します。 この単語は水田の数(後述)の発見者である 水田氏の造語で， 数字列の上桁(左側)と下桁(右側)からの各桁の数字並びが同じものを言います。 例えば，12321や246642は鏡数ですが，1234や1210は鏡数ではありません (仮に非鏡数と呼んでいます)。

水田予想

　水田氏は，非鏡数についても以下の操作を繰り返し行なうことで， 最終的には必ず鏡数になる(鏡数に収束する)のではないかという予想を立てました。 この予想を勝手に「水田予想」と呼んでいます。

1. 任意の桁数の正の整数A(仮に始祖数と呼んでいます)を考えます
2. その数を左右反転(?)した数B(仮に反転数と呼んでいます)を考えます (例：1357→7531)
3. A+Bを計算します
4. その答えが鏡数でなければ2,から繰り返します

例１：1976
1976 + 6791 = 8767
8767 + 7678 = 16445
16445 + 54461 = 70906
70906 + 60907 = 131813
131813 + 318131 = 449944 (鏡数に収束)

例２：1200
1200 + 21 = 1221 (鏡数に収束)

反転数を作る際に下桁が0だった場合には桁落ちが発生します。

水田の数

　殆どの始祖数は数回，多くても数十回の操作で鏡数に収束するようですが， 有限回の操作で鏡数に収束しない始祖数のことを仮に水田の数と呼ぶことにしました。 例えば始祖数196は10000回以上の操作を繰り返しても鏡数になりませんので， 水田の数の可能性があります。
　簡単なPerlスクリプトを利用して水田の数の候補を探してみたところ， 以下の始祖数は少なくとも100回の操作では鏡数に収束しないことがわかっています。

• 295(592)
• 394(493)
• 689(986)
• 691(196)
• 788(887)
• 790
• 879(978)

　水田予想では，全ての始祖数は鏡数に収束すると予想していますが， この予想が正しいのか，当時， 高校生だった私たちでは答えが出せませんでした(今でも無理ですが)。 そしてもし鏡数に収束しない始祖数(＝水田の数)が存在するのであれば， 水田の数に規則性はあるのか？という疑問が沸いてきます。 数学に詳しい方などいらっしゃいましたら文献などお教えくだされば幸いです。

　当時，私のひとつ上の先輩である友人が高校生だった頃(十数年前)に発見しました。 色々相談を受けている間に判ったことなどのメモが出てきたので記録しておくことにします。

• 1から9までを始祖数とする鏡数
• 10から99までを始祖数とする鏡数
• 100から999までを始祖数とする鏡数